Cenový rozklad: substituční a důchodový efekt

Tato stránka navazuje na rovnováhu spotřebitele a teorii užitku a preferencí. Cenový rozklad je páteří celé mikroekonomické analýzy poptávky — bez něj nelze pochopit ani rozdíl mezi Marshallovou a Hicksovou poptávkou, ani elasticity, ani daňovou incidenci.

1. Cenový (celkový) efekt = substituční + důchodový

Předpoklady úlohy: spotřebitel volí mezi statky $X$ a $Y$ při daných cenách $P_X, P_Y$ a peněžním důchodu $I$. Optimum splňuje rozpočtové omezení $P_X X + P_Y Y = I$ a tečnost indiferenční křivky a rozpočtové přímky:

Nyní změňme cenu jednoho statku, např. $P_X$ klesne na $P_X'$ při zachování $P_Y$ a $I$. Spotřebitel přechází z původního optima $E_0$ do nového optima $E_2$. Změna spotřebovaného množství $X$ je cenový (celkový) efekt:

Tento celkový pohyb lze rozložit na dvě části:

• Substituční efekt (SE) — kolik z $\Delta X^{\text{cen}}$ je způsobeno samotnou změnou relativních cen, tj. tím, že $X$ je teď oproti $Y$ levnější (resp. dražší). Při čistě relativní změně cen by spotřebitel přesunul část výdajů ze zdraženého statku k tomu zlevněnému, i kdyby celková kupní síla zůstala konstantní.
• Důchodový efekt (IE) — kolik z $\Delta X^{\text{cen}}$ je způsobeno tím, že po zlevnění $X$ má spotřebitel za stejné peníze efektivně víc než dřív (vzrostla reálná kupní síla, i když nominální $I$ se nezměnilo).

Symbolicky:

2. Substituční efekt je vždy záporný

Slovo „záporný" zde znamená proti směru změny ceny — pokud cena roste, SE snižuje poptávané množství; pokud cena klesá, SE zvyšuje poptávané množství. Důvod je čistě geometrický: indiferenční křivky jsou konvexní (klesající MRS), takže při změně sklonu rozpočtové přímky se tečna posouvá podél IC ve směru zlevňujícího se statku.

Formálně, pro Hicksovu kompenzovanou poptávku $X^H(P_X, P_Y, U_0)$ platí:

Tato nerovnost je zákonem (důsledek konkávní výdajové funkce, viz Marshallova vs. Hicksova poptávka).

3. Důchodový efekt — normální vs. podřadné zboží

Po izolaci SE zbývá doplnit zpět právě tu kupní sílu, kterou jsme spotřebiteli „odebrali". To je důchodový efekt. Jeho znaménko závisí na typu statku:

• Normální zboží — s rostoucím důchodem roste poptávané množství, $\partial X^M/\partial I > 0$. Pokles $P_X$ zvýší reálný důchod, takže poptávka po $X$ ještě dál vzroste. IE proto působí stejným směrem jako SE → zesiluje cenový efekt.
• Podřadné (inferiorní) zboží — s rostoucím důchodem poptávané množství klesá, $\partial X^M/\partial I < 0$. Pokles $P_X$ zvýší reálný důchod, ale spotřebitel ho použije k posunu k „lepším" statkům, takže poptávka po $X$ se sníží. IE působí proti SE → oslabuje cenový efekt.

4. Geometrie rozkladu — body $E_0, E_1, E_2$

V grafu indiferenčních křivek uvažujme zlevnění $X$ (ze sklonu $-P_X/P_Y$ na $-P_X'/P_Y$):

• Bod $E_0$ — původní optimum na rozpočtové přímce $L$, na indiferenční křivce $U_0$. Spotřebovává množství $Q$ statku $X$.
• Bod $E_2$ — nové optimum na nové rozpočtové přímce $L'$ (s mírnějším sklonem, protože $X$ zlevnilo), na vyšší indiferenční křivce $U_1$. Spotřebovává $S$ statku $X$.
• Bod $E_1$ — pomocný „kompenzovaný" bod. Leží na pomocné rozpočtové přímce $L^\wedge$, která má stejný sklon jako $L'$ (tj. nové relativní ceny), ale je posunutá tak, aby spotřebitel zůstal stejně bohatý jako v $E_0$. Spotřebovává $R$ statku $X$.

V interval $E_0 \to E_1 \to E_2$:

• $QR =$ posun z $E_0$ do $E_1$ = substituční efekt;
• $RS =$ posun z $E_1$ do $E_2$ = důchodový efekt;
• $QS =$ posun z $E_0$ do $E_2$ = cenový efekt = $QR + RS$.

Rozdíl mezi Hicksovým a Slutského rozkladem spočívá jen v tom, jak je definováno „stejně bohatý jako předtím" — neboli kde přesně leží pomocná přímka $L^\wedge$ a kde leží $E_1$.

5. Hicksova separace — zachování užitku

Hicks definuje „stejně bohatého spotřebitele" tak, že má stejný užitek jako v původním optimu. Substituční efekt je proto čistě pohyb po $U_0$, jen s novými relativními cenami:

Substituční efekt v Hicksově pojetí je:

Hicksova separace je teoreticky čistší: drží konstantní užitek, což je hlavní pojmová proměnná teorie spotřebitele. Pro analytické úlohy (Slutského rovnice, dualita s výdajovou funkcí) je nepostradatelná.

6. Slutského separace — zachování koše

Slutsky definuje „stejně bohatého spotřebitele" tak, že má stále k dispozici původní spotřební koš $E_0$. Při zlevnění $X$ ale původní koš leží uvnitř nové rozpočtové množiny (na pomocné přímce $L^\wedge_S$ je to její koncový bod), takže se spotřebitel může pohnout na vyšší IC.

Důsledek: Slutského substituční efekt je větší (v absolutní hodnotě) než Hicksův, protože $E_1^S$ leží na vyšší IC než $E_1^H$:

Slutského separace je empiricky operativnější: spotřební koš $E_0$ je přímo pozorovatelný (z dat o domácnostech), zatímco užitek $U_0$ je latentní. Statistici a empirici proto dávají Slutského rozkladu přednost. Pro infinitesimální změny ceny se oba rozklady shodují (limita $\Delta P_X \to 0$).

7. Slutského rovnice

Centrální identita celé teorie spojuje pozorovatelnou Marshallovu (tržní) poptávku $X^M(I, P_X, P_Y)$ s Hicksovou kompenzovanou poptávkou $X^H(U_0, P_X, P_Y)$:

Levá strana je cenový (celkový) efekt — to, co skutečně pozorujeme na trhu. Pravá strana je rozklad: první člen je substituční efekt podle Hicksova pojetí (vždy nekladný), druhý je důchodový efekt vážený stávající spotřebou $X$.

Praktické důsledky Slutského rovnice:

• Pro normální zboží ($\partial X^M/\partial I > 0$) jsou oba členy záporné → Marshallova poptávka klesá v $P_X$.
• Pro podřadné ($\partial X^M/\partial I < 0$) je druhý člen kladný — když je dost velký (statek tvoří velký podíl výdajů, $X$ velké), může převážit nad záporným SE a dostat $\partial X^M/\partial P_X > 0$ → Giffenův paradox.

8. Srovnání Hicks vs. Slutsky

Doporučení: pro odvození a důkazy používáme Hicksův rozklad; pro empirickou aproximaci z reálných dat a pro výpočty přes Laspeyresovy/Paascheho indexy používáme Slutského.

9. Cenový efekt pro normální zboží

Pro normální zboží jdou SE i IE stejným směrem. Pokud $P_X$ klesne:

• $SE: \;\downarrow P_X \to \uparrow X$ (substituce z $Y$ k levnějšímu $X$);
• $IE: \;\downarrow P_X \to \uparrow I_{\text{real}} \to \uparrow X$ (vyšší kupní síla, X normální).

Oba efekty zvyšují $X$, takže Marshallova poptávka po normálním zboží je vždy klesající v $P_X$. Graficky to odpovídá třem bodům $E_0, E_1, E_2$, všem posunutým vpravo, kde $QS = QR + RS > 0$ pro pokles ceny.

10. Cenový efekt pro podřadné zboží

Pro podřadné (inferiorní, ne ovšem Giffenovo) zboží jdou SE a IE proti sobě:

• $SE: \;\downarrow P_X \to \uparrow X$;
• $IE: \;\downarrow P_X \to \uparrow I_{\text{real}} \to \downarrow X$ (X podřadné).

Tuto situaci lze popsat slovy: „substituční a důchodový efekt se přetahují". Výsledný cenový efekt je součet dvou opačně orientovaných sil:

• Pokud $|SE| > |IE|$ — typické pro mírně podřadné statky — D křivka stále klesá, ale je plošší než pro normální zboží.
• Pokud $|SE| < |IE|$ — typické pro statky tvořící velkou část rozpočtu chudých domácností bez substitutů — vzniká Giffen.

11. Giffenův paradox

Mechanismus:

1. $X$ je silně podřadné — s rostoucím důchodem ho spotřebitel rád nahrazuje lepšími statky.
2. $X$ tvoří značnou část spotřebitelových výdajů — pokles $P_X$ způsobí velký nárůst reálného důchodu.
3. $X$ je základní životní potřeba — nelze ji jednoduše substituovat ničím jiným.
4. Žádné blízké substituty neexistují → SE je malý.

Pak: zlevnění $X$ → velký nárůst $I_{\text{real}}$ → spotřebitel si za uvolněné peníze koupí jiné, lepší statky a $X$ omezí. Záporný (silně) IE > záporný (slabě) SE → poptávané množství $X$ klesá.

12. Cenová spotřební křivka (PCC)

Jinak řečeno: pro každou hodnotu $P_X$ máme rozpočtovou přímku, na ní tečné optimum, a body všech těchto optim spojené v rovině $(X, Y)$ tvoří PCC. Z PCC se přímo odvozuje individuální Marshallova poptávková křivka $X^M(P_X)$ — projekcí každého bodu PCC do roviny $(X, P_X)$.

12.1 Tvar PCC a elasticita poptávky

Vztah mezi sklonem PCC a cenovou elasticitou poptávky: výdaje na $X$ jsou $P_X \cdot X$. Pohybem podél PCC se výdaje na $Y$ mění opačně k výdajům na $X$ (kvůli rozpočtovému omezení). Když cena $X$ klesne:

• Pružná poptávka ($|E_X^P| > 1$) — výdaje na $X$ rostou (procentní pokles ceny vyvolá větší procentní růst poptávaného množství). Spotřebitel utrácí víc za $X$ a míň za $Y$ → bod se na PCC posune dolů (méně $Y$). PCC klesá.
• Jednotková elasticita ($|E_X^P| = 1$) — výdaje na $X$ se nemění, takže ani výdaje na $Y$ se nemění → PCC je vodorovná.
• Nepružná poptávka ($|E_X^P| < 1$) — výdaje na $X$ klesají, výdaje na $Y$ rostou → PCC roste vpravo nahoru.

12.2 PCC pro Giffenovo zboží

Pro Giffenovo zboží má PCC netypický tvar: při poklesu $P_X$ se optimum posune vlevo (méně $X$), nikoli vpravo. PCC tedy ohýbá zpět, a odpovídající projekce do $(X, P_X)$ je rostoucí — to je rostoucí Marshallova poptávka po Giffenovi.

13. Důchodová spotřební křivka (ICC)

Při růstu $I$ se rozpočtová přímka paralelně posouvá vpravo nahoru, sklon zůstává stejný. Optima se posouvají po IC vyšších tříd, a jejich spojnice je ICC.

13.1 Tvar ICC podle typu zboží

Rozlišujeme tři typické tvary:

• $X$ i $Y$ normální — ICC stoupá vpravo nahoru, zhruba pod úhlem 45° (přesně 45° pro homotetické preference jako Cobb-Douglas).
• $X$ podřadné, $Y$ normální — ICC se po jisté úrovni důchodu odklání vlevo (klesá $X$, roste $Y$). Spotřebitel s vyšším příjmem omezuje podřadný $X$.
• $Y$ podřadné, $X$ normální — ICC se po jisté úrovni důchodu odklání dolů (roste $X$, klesá $Y$).

Statek nemůže být podřadný v celém rozsahu důchodů — pro $I \to 0$ musí být každý spotřebovávaný statek normální (jinak by jeho spotřeba byla z definice nulová). Statek je tedy obvykle normální v nízkých příjmech a stává se podřadným až nad jistou úrovní.

13.2 Vliv změny ceny na ICC

Pokles $P_X$ změní sklon všech rozpočtových přímek a tedy přesune i ICC. Po zlevnění $X$ se každé optimum při daném $I$ posune vpravo (více $X$), takže celá ICC se posune vpravo. To je ekvivalentní pohybu podél PCC pro každou hodnotu důchodu.

14. Engelovy křivky

14.1 Konstrukce z ICC

Postup:

1. Pro každou hodnotu $I$ najdi optimum na ICC, odečti $X^*(I)$.
2. V rovině $(X, I)$ vynes bod $(X^*(I), I)$.
3. Spojení těchto bodů je Engelova křivka.

14.2 Tvary Engelových křivek

Typické tvary:

• Normální zboží — Engelova křivka je rostoucí, $\partial X^*/\partial I > 0$.
  • Nezbytný statek — roste, ale konkávně (mezní sklon klesá s důchodem).
  • Luxusní statek — roste konvexně (mezní sklon roste s důchodem; podíl výdajů na $X$ roste s $I$).
• Podřadné zboží — Engelova křivka má zlom v $I_0$: pod $I_0$ je rostoucí (statek je při nízkých příjmech normální), nad $I_0$ klesá (statek se stává podřadným).
• Souhrnná Engelova křivka — agregace přes všechny statky a domácnosti, používá se při empirických studiích spotřeby.

15. Aplikace v praxi

15.1 Daňová politika a daňová incidence

Když stát uvalí spotřební daň na statek $X$ (např. cigarety), $P_X$ pro spotřebitele roste. Cenový efekt rozhodne, jak moc poptávka klesne — tedy kolik státu vybere a jak moc je daň regresivní:

• Statek s nepružnou D (nízká SE, nízký podíl) → vysoký výnos, malý dopad na spotřebu.
• Statek s pružnou D → nízký výnos (spotřebitelé přejdou k substitutům).
• Pro chudé domácnosti, kde $X$ tvoří velký podíl rozpočtu, je IE silný a daň regresivní (více ji pociťují).

15.2 Sociální dávky a rozpočtová politika

Změna důchodu $\Delta I$ přesouvá spotřebitele po ICC. Z Engelových křivek lze odhadnout, do čeho přesně poteče případné navýšení sociálních dávek: u domácností pod prahem chudoby do potravin a bydlení (nezbytné statky), u středních příjmů do volnočasových služeb (luxusní statky).

15.3 Marketingová segmentace

Identifikace luxusního vs. nezbytného vs. podřadného zboží (přes Engelovu křivku) určuje cílovou skupinu. Luxusní auta rostou s příjmem konvexně → cílit na vysokopříjmové segmenty. Discountní řetězce tržou na podřadných statcích → cílit na pokles příjmů, recese.

15.4 Analýza šoků (energie, potraviny)

Energetické krize (zdražení zemního plynu) pro nízkopříjmové domácnosti aktivují silný IE u jiných statků: musí omezit spotřebu „luxusních" položek, aby udrželi zaplatitelný plyn. Empiricky pozorovatelné jako pokles spotřeby restaurací, dovolených apod. — všechno přes Slutského rovnici.

16. Příklad — Cobb-Douglasovy preference

16.1 Marshallova poptávka

Pro Cobb-Douglas $U = X^\alpha Y^{1-\alpha}$ je Marshallova poptávka:

Pro $\alpha = 0{,}5$, $I = 100$:

Po zlevnění $P_X = 1$:

Cenový efekt: $\Delta X^{\text{cen}} = 50 - 25 = 25$.

16.2 Slutského rozklad

Pomocný „Slutského" důchod $I^S$ je takový, aby si spotřebitel za nové ceny mohl koupit původní koš $(25, 50)$:

Slutského pomocná Marshallova poptávka při $I = 75$, $P_X = 1$:

Substituční efekt (Slutsky): $\Delta X^{\text{SE,S}} = 37{,}5 - 25 = 12{,}5$.

Důchodový efekt (Slutsky): $\Delta X^{\text{IE,S}} = 50 - 37{,}5 = 12{,}5$.

Kontrola: $12{,}5 + 12{,}5 = 25 = \Delta X^{\text{cen}}$. Sedí.

16.3 Hicksův rozklad

Pro Cobb-Douglas je nepřímá užitková funkce:

Hicksova kompenzovaná poptávka pro Cobb-Douglas:

Při $P_X = 1, P_Y = 1$:

Substituční efekt (Hicks): $\Delta X^{\text{SE,H}} = 35{,}36 - 25 \approx 10{,}36$.

Důchodový efekt (Hicks): $\Delta X^{\text{IE,H}} = 50 - 35{,}36 \approx 14{,}64$.

Pozorování: $|\Delta X^{\text{SE,S}}| = 12{,}5 > |\Delta X^{\text{SE,H}}| \approx 10{,}36$ — Slutského SE je větší než Hicksův SE, jak teorie předpovídá.

16.4 Kontrola Slutského rovnice

Pro Cobb-Douglas:

V bodě $E_0$ ($P_X = 2$, $I = 100$):

Tedy SE musí být $\partial X^M/\partial P_X + X \cdot \partial X^M/\partial I = -12{,}5 + 6{,}25 = -6{,}25$. Pro infinitesimální změny tedy SE/$\Delta P = -6{,}25$, a IE/$\Delta P = -6{,}25$. Pro velkou změnu $\Delta P_X = -1$ aproximace dává SE $\approx 6{,}25$, IE $\approx 6{,}25$ — což je mezi Hicksovým a Slutského diskrétním rozkladem výše (jak má být — pro infinitesimální změnu se obě metody shodují).

17. Numerické příklady ze zkoušek

V archivu zkouškových variant najdeme řešené příklady na cenový rozklad. Konkrétně:

• Varianta W — klasický Slutského rozklad pro Cobb-Douglasovy preference podobné výše uvedenému.
• Varianta H — úloha s Giffenovým zbožím: dáno extrémně podřadné $X$ a velký podíl rozpočtu, požaduje se vyšetřit znaménko cenového efektu.

Detailní řešení viz Vzorové zkoušky a souhrn vzorců Přehled vzorců MikK.

17a. Substituty a komplementy přes SE a IE

Cenový rozklad lze rozšířit na křížové efekty — tj. změnu ceny statku $Y$ na poptávku po statku $X$. Klasifikace dvojic statků jako substituty nebo komplementy závisí na poměru SE a IE pro křížový efekt:

17a.1 Hicksovi substituty a komplementy

Hicksovsky se dvojice $(X, Y)$ klasifikuje znaménkem kompenzovaného křížového efektu:

• Hicksovi substituty: $\partial X^H/\partial P_Y > 0$ (zdražení $Y$ → spotřebitel přechází k $X$).
• Hicksovi komplementy: $\partial X^H/\partial P_Y < 0$ (zdražení $Y$ → spotřeba $X$ klesá, „chodí spolu").

Tato klasifikace je symetrická: $\partial X^H/\partial P_Y = \partial Y^H/\partial P_X$ (Slutského symetrie, plyne z konkávní výdajové funkce).

17a.2 Hrubé (Marshallovy) substituty a komplementy

V tržně pozorovatelné poptávce klasifikujeme znaménkem $\partial X^M/\partial P_Y$:

• Hrubé substituty: $\partial X^M/\partial P_Y > 0$.
• Hrubé komplementy: $\partial X^M/\partial P_Y < 0$.

Tato klasifikace není symetrická — záleží na velikostech $Y$ a $X$ a důchodových efektech. Konkrétně:

• Komplementy ($X$ a $Y$ se konzumují společně, např. káva a cukr): $SE: \downarrow P_Y \to \uparrow X$ (převažující komplementarita posune k $X$), $IE: \downarrow P_Y \to \uparrow I_{\text{real}} \to \uparrow X$ (oba kladně), výsledek: $IE > SE$, hrubě komplementy.
• Substituty ($X$ a $Y$ se nahrazují, např. káva a čaj): $SE: \downarrow P_Y \to \downarrow X$ (přechod k $Y$), $IE: \downarrow P_Y \to \uparrow I_{\text{real}} \to \uparrow X$ (kladně), výsledek: $SE > IE$, hrubě substituty.

17b. Výdajová funkce a její derivace

Výdajová funkce $E(U_0, P_X, P_Y) = \min\{P_X X + P_Y Y : U(X,Y) \ge U_0\}$ je peněžní obnos potřebný k dosažení užitku $U_0$ při daných cenách. Vlastnosti:

• rostoucí v užitku $U_0$;
• neklesající v cenách (zdražení statku zvýší minimální výdaje);
• rostoucí, pokud roste alespoň jedna cena;
• konkávní v cenách — geometricky to znamená, že parciální derivace $\partial^2 E/\partial P_X^2 \le 0$, což je matematickým jádrem zákona klesající Hicksovy poptávky;
• homogenní stupně 1 v cenách — $E(U_0, \lambda P_X, \lambda P_Y) = \lambda E(U_0, P_X, P_Y)$.

17b.1 Vztah maximalizace užitku a minimalizace výdajů

Dvě duální úlohy:

Dualita: $V(E(U_0, P_X, P_Y), P_X, P_Y) = U_0$ a $E(V(I, P_X, P_Y), P_X, P_Y) = I$. Tj. obě funkce jsou navzájem inverzní v užitkové dimenzi.

Substituce: $X^M(E(U_0, P_X, P_Y), P_X, P_Y) = X^H(U_0, P_X, P_Y)$. Tj. když do Marshallovy poptávky dosadíme přesně tolik důchodu, abychom dosáhli užitku $U_0$, dostaneme Hicksovu poptávku.

Z této identity přímo plyne Slutského rovnice (derivace obou stran podle $P_X$).

17c. Rozklad pro velkou změnu ceny — pozor na cestu

Rozklad přes SE a IE jsme dosud psali pro konečnou změnu $\Delta P_X$. Pro infinitesimální změnu se obě metody (Hicks i Slutsky) shodují s parciálními derivacemi. Pro velkou diskrétní změnu ale rozklad závisí na cestě:

• Hicks = projekce na pomocnou IC $U_0$ (jedna a táž IC pro libovolnou velikost $\Delta P_X$);
• Slutsky = posun rozpočtové přímky o pevný offset (původní koš dosažitelný i v novém režimu);
• pro velké $\Delta P_X$: $|SE_S| > |SE_H|$, $|IE_S| < |IE_H|$.

Důsledek pro praxi: empirické indexy spotřebitelské inflace (CPI, Laspeyres, Paasche) jsou Slutského typu — počítají kompenzaci jako „kolik bych musel mít, abych si pořídil původní koš za nové ceny". Skutečná Hicksova kompenzace by byla menší (protože spotřebitel se může adaptovat substitucí), takže Laspeyresův index nadhodnocuje skutečnou inflaci. To je tzv. substitution bias indexů.

17d. Detailní příklad — Giffenův paradox krok po kroku

Výchozí stav: $X_0 = 10$, $Y_0 = (60 - 4 \cdot 10)/20 = 1$. Tj. 10 kg brambor a 1 kg masa za 60 Kč. Brambory tvoří $40/60 \approx 67\,\%$ výdajů.

Šok: $P_X$ klesne z 4 na 3 Kč/kg.

Slutského kompenzace: aby si stále mohl koupit původní koš, potřebuje $I^S = 3 \cdot 10 + 20 \cdot 1 = 50$ Kč. „Sebrali jsme mu" 10 Kč z 60.

Pomocné optimum: při $I^S = 50$ a nových cenách. Pokud je $X$ silně podřadné, spotřebitel s nižším důchodem ale levnějším X zvýší spotřebu brambor — řekněme na $X^S = 12$, takže $Y^S = (50 - 36)/20 = 0{,}7$.

Slutského SE: $\Delta X^{\text{SE}} = 12 - 10 = +2$ kg (kladný, jak má SE u poklesu ceny být).

Vrátíme důchod: spotřebitel má teď $I = 60$ při $P_X = 3$. Protože $X$ je silně podřadné, dodatečných 10 Kč ho odvede od brambor k masu: může si koupit $X_2 = 9$, $Y_2 = (60 - 27)/20 = 1{,}65$.

Slutského IE: $\Delta X^{\text{IE}} = 9 - 12 = -3$ kg (záporný, podřadné zboží).

Cenový efekt: $\Delta X^{\text{cen}} = 9 - 10 = -1$ kg.

Kontrola: $SE + IE = 2 + (-3) = -1 = \Delta X^{\text{cen}}$. Sedí.

Cena brambor klesla, ale spotřeba brambor taky klesla — protože uvolněné peníze stačily na víc masa. To je Giffen.

17e. Detailní příklad — konstrukce PCC, ICC, Engelovy křivky

Marshallova poptávka

PCC — měníme $P_X$, fixujeme $I = 60$

Pro různé $P_X \in \{1, 2, 3, 6\}$:

Pozorování: $Y$ je konstantní (= $2I/3 = 40$). PCC je v rovině $(X, Y)$ vodorovná přímka $Y = 40$. Důvod: pro Cobb-Douglas je jednotková cenová elasticita poptávky po $X$, takže výdaje na $X$ jsou konstantní $(1/3) I = 20$, a výdaje na $Y$ jsou doplňkem.

Marshallova poptávka po $X$ (projekce do $(X, P_X)$): $X = 20/P_X$ — klasická hyperbola.

ICC — měníme $I$, fixujeme $P_X = 2, P_Y = 1$

Pozorování: ICC je přímka procházející počátkem se sklonem $Y/X = 4$ (přesně $Y/X = (2/3)/((1/3)/P_X) \cdot P_X/P_Y = 2 P_X / P_Y = 4$). Pro Cobb-Douglas je ICC vždy lineární s konstantním sklonem — to je důsledek homotetičnosti preferencí.

Engelova křivka pro $X$

Z $X^M = I/(3 P_X) = I/6$ při $P_X = 2$:

Pozorování: Engelova křivka je přímka $X = I/6$, lineární a rostoucí. Důchodová elasticita $E_X^I = 1$ — Cobb-Douglasovy preference popisují zboží s jednotkovou důchodovou elasticitou. Žádný luxus, žádné nezbytné, žádné podřadné — zlatá střední cesta. To je důvod, proč Cobb-Douglas slouží jen jako didaktický základ; reálná data vyžadují bohatší užitkové funkce (Stone-Geary, CES, kvázi-lineární).

17f. Historický kontext

17g. Limitní případy a rohové řešení

Perfektní substituty

Pokud $U(X, Y) = aX + bY$ (lineární užitek, perfektní substituty), spotřebitel nakupuje jen jeden statek — ten s vyšším poměrem $MU/P$:

• Pokud $a/P_X > b/P_Y$: $X = I/P_X$, $Y = 0$.
• Pokud $a/P_X < b/P_Y$: $X = 0$, $Y = I/P_Y$.

V tomto případě substituční efekt skokově dominuje: malé zlevnění $X$ (přesné překročení prahu) přepne celou spotřebu z $Y$ na $X$. IE je definován jen v rohu a má interpretaci „dopad na spotřebu kvantitativní veličiny, kterou už nakupujeme".

Perfektní komplementy

$U(X, Y) = \min(aX, bY)$ — Leontiefův užitek. Spotřebitel kupuje vždy v poměru $X:Y = b:a$, takže $aX = bY$. Důsledek: substituční efekt je nulový (žádná substituce při změně relativních cen — proporcionální nákup je dán technologií, ne preferencemi). Veškerý cenový efekt je důchodový. Slutského rovnice degeneruje na $\partial X^M/\partial P_X = -X \cdot \partial X^M/\partial I$.

Kvázi-lineární užitek

$U(X, Y) = v(X) + Y$. Marshallova poptávka po $X$ nezávisí na důchodu (pokud není rohová): $v'(X) = P_X/P_Y$. Důsledek: důchodový efekt na $X$ je nulový (kromě extrémně nízkých důchodů). Veškerý cenový efekt je substituční. Slutského rovnice se zjednoduší: $\partial X^M/\partial P_X = \partial X^H/\partial P_X$. Tato vlastnost je důvod, proč se kvázi-lineární užitek používá v teorii průmyslových organizací a welfare ekonomii — vyhneme se komplikacím s důchodovými efekty.

17h. SE a IE pro spotřebitele s pracovní nabídkou

Cenový rozklad se přirozeně přenáší na pracovní nabídku, kde je „cenou" mzda $w$ a „statkem" volný čas $L$. Spotřebitel volí mezi spotřebou $C$ a volným časem $L$ při omezení $C = w(T - L) + V$ (kde $T$ je dispozice času, $V$ jsou nepracovní příjmy).

Růst mzdy $w$ rozkládáme:

• SE: volný čas zdražil → spotřebitel snižuje volný čas (víc pracuje). Vždy $-$ k volnému času, $+$ k práci.
• IE: vzrostl reálný důchod (volný čas je obvykle normální statek) → spotřebitel chce víc volného času, méně pracovat.

Pro nízké mzdy SE > IE → křivka nabídky práce roste. Pro vysoké mzdy IE > SE → křivka „ohýbá zpět" (backward-bending labor supply). Tento jev je další verze Giffena, jen pro pracovní nabídku, a detailněji se s ním pracuje v rámci modelů spotřebitele s časovou volbou.

17i. SE a IE v intertemporální volbě

Stejný rozklad funguje pro volbu mezi současnou a budoucí spotřebou ($C_1, C_2$) při úrokové míře $r$. Růst $r$:

• SE: budoucí spotřeba je „levnější" (vysoká cena současné) → spotřebitel přesouvá do $C_2$ (víc šetří).
• IE pro střadatele: vyšší výnos z úspor → bohatší → chce víc obojího → IE proti SE u $C_2$, ve směru SE u $C_1$ (pokud je střadatel).
• IE pro dlužníka: vyšší úroky → chudší → chce méně obojího.

Tento rozklad je jádrem moderní teorie consumption smoothing a Eulerovy rovnice v makroekonomii.

18. Souvislosti a další čtení

• Předchozí téma: Užitek a preference (axiomy, IC, MRS) → Rovnováha spotřebitele (tečnost MRS = $P_X/P_Y$).
• Návazné téma: Marshallova vs. Hicksova poptávka — formálně rozvíjí Slutského rovnici, dualitu, Shephardovo lemma.
• Aplikace: Elasticity poptávky — sklon PCC vs. cenová elasticita; Engelova křivka vs. důchodová elasticita.
• Tržní agregace: Tržní rovnováha a dynamika — agregace individuálních poptávek na tržní křivku, Engelovy křivky pro celou populaci.
• Křížový kontext: Poptávka/nabídka (ImeK) — matematicko-ekonomické zachycení v ImeK.
• Hub kurzu: Mikroekonomie 2.

19. Časté chyby a varování

Shrnutí klíčových identit

PCC: trajektorie optim při $\Delta P_X$, ceny $P_Y$ a důchod $I$ konstantní → individuální poptávka.

ICC: trajektorie optim při $\Delta I$, ceny $P_X, P_Y$ konstantní → Engelova křivka.

Engel: $X^*(I)$ při fixních cenách → klasifikace luxus / nezbytné / podřadné podle sklonu.